マットレスの処分方法の基本は、粗大ごみとして出すことです。
自力で解体して燃やせるゴミなどで出すという方法もありますが、解体するのにはかなりの手間ひまがかかるので、素直に粗大ごみとして出すのが賢明です。
リサイクルショップに買い取ってもらうという方法もありますが、正直なところ中古のマットレスだとあまり査定額に期待はできません。
新品状態や高級マットレスならば高額査定になる可能性はありますが、そうでない場合は買取を拒否されるケースも少なくありません。
それでもとりあえず査定をして欲しいならば、無料で査定してくれるショップに電話で相談してみるといいでしょう。
新しいマットレスを購入する場合は、古いマットレスをショップで無料で引き取ってくれる場合もあります。